Xét phương trình Pell biến thể:

u 2 − d v 2 = ± k {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=\pm k}

với k là số tự nhiên lớn hơn 1.

I. k=2

u 2 − d v 2 = ± 2 {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=\pm 2} (eq.3)

Legendre đã chứng minh rằng nếu d là số nguyên tố có dạng 4m+3 thì phương trình (eq3)có nghiệm, cụ thể hơn:

nếu d là số nguyên tố có dạng 8m+3, phương trình sau có nghiệm u 2 − d v 2 = − 2 {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=-2} nếu d là số nguyên tố có dạng 8m+7, phương trình sau có nghiệm u 2 − d v 2 = + 2 {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=+2} .

Phương trình (eq3) có các nghiệm liên hệ với phương trình Pell ở dạng chính tắc. Thật vậy, nếu ta bình phương hai vế của nó:

( u 2 − d v 2 ) 2 = ( ± 2 ) 2 {\displaystyle (u^{2}-dv^{2})^{2}=(\pm 2)^{2}} ( u 2 + d v 2 ) 2 − 4 d ( u v ) 2 = 4 {\displaystyle (u^{2}+dv^{2})^{2}-4d(uv)^{2}=4}

Thay d v 2 = u 2 ∓ 2 {\displaystyle dv^{2}=u^{2}\mp 2} ta được

( 2 u 2 ∓ 2 ) 2 − 4 d ( u v ) 2 = 4 {\displaystyle (2u^{2}\mp 2)^{2}-4d(uv)^{2}=4} ( u 2 ∓ 1 ) 2 − d ( u v ) 2 = 1 {\displaystyle (u^{2}\mp 1)^{2}-d(uv)^{2}=1} .

Như vậy nếu (u,v) là nghiệm của phương trình: u 2 − d v 2 = ± 2 {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=\pm 2} , thì ( x , y ) = ( u 2 ∓ 1 , u v ) {\displaystyle (x,y)=(u^{2}\mp 1,uv)} là nghiệm của phương trình Pell chính tắc sau x 2 − d y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1} . Ví dụ với d=3, (u,v) = (1,1) là nghiệm của u 2 − 3 v 2 = − 2 {\displaystyle u^{2}-3v^{2}=-2} , thì (x,y) = (2,1) là nghiệm của x 2 − 3 v 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-3v^{2}=1} .

II. k = 4:

u 2 − d v 2 = ± 4 {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=\pm 4\,} (eq.4)

Từ nghiệm của (eg.4) có thể tìm ra nghiệm của phương trình Pell chính tắc (cả Pell âm) với d tương ứng. Xem dạng biến thể [3], nếu nghiệm {u,v} đều là lẻ, thì có thể tìm được nghiệm cơ bản {x,y}.

1. Nếu u2-dv2 = -4, và {x,y} = {(u2+3)u/2, (u2+1)v/2}, thì x2-dy2 = -1.

Ví dụ: Cho d = 13, thì {u,v} = {3, 1}và {x,y} = {18, 5}.

2. Nếu u2-dv2 = 4, và {x,y} = {(u2-3)u/2, (u2-1)v/2}, thì x2-dy2 = 1.

Ví dụ. Cho d = 13, thì {u,v} = {11, 3} và {x,y} = {649, 180}.

3. Nếu u2-dv2 = -4, và {x,y} = {(u4+4u2+1)(u2+2)/2, (u2+3)(u2+1)uv/2}, thì x2-dy2 = 1.

Ví dụ. Cho d = 61, thì {u,v} = {39, 5} và {x,y} = {1766319049, 226153980}.

III. k = a 2 {\displaystyle k=a^{2}}

Nếu (x,y) là nghiệm của phương trình x 2 − d y 2 = ± 1 {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=\pm 1} thì (u,v) = (ax, ay) là nghiệm của u 2 − d v 2 = ± a 2 {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=\pm a^{2}} .